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Armstrong公理系统（或称函数依赖的公理系统）：设关系模式R（U，F），其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：
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（1）A1自反律：若 ，则X→Y为F所蕴涵。
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（2）A2增广律：若X→Y为F所蕴涵，且 ，则XZ→YZ为F所蕴涵。
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（3）A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。
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（1）合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴涵。
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（2）伪传递率：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴涵。
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（3）分解规则：若X→Y， ，则Ⅹ→Z为F所蕴涵。
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引理：X→A1A2…Ak成立的充分必要的条件是X→Ai成立（i=1，2，3，…，k）。证明略。
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函数依赖的闭包F+及属性的闭包
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【定义7.16】关系模式R（U，F）中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体称为F的闭包，记为：F+。
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属性的闭包
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【定义7.17】设F为属性集U上的一组函数依赖， ， 能由F根据Armstrong公理导出｝，则称 为属性集X关于函数依赖集F的闭包。
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算法：求属性的闭包 。
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输出： 。
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②求B，
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⑤若相等，或X（i）=U，则X（i）为属性集X关于函数依赖集F的闭包。且算法终止。
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给定一个关系模式R（U，F），U=｛A1，A2，…，An｝，F是R的函数依赖集，那么，可以将属性分为如下四类：
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根据候选码的特性，对于给定一个关系模式R（U，F），可以得出如下结论：
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结论1：若 是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。若 ，则X必为R的唯一候选码。
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结论2：若 是R类属性，则X不是R的任一候选码的成员。
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结论3：若 是NLR类属性，则X必为R的任一候选码的成员。
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结论4：若 是L类和NLR类属性组成的属性集，若 ，则X必为R的唯一候选码。
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【定义7.18】如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个最小函数依赖集，或称极小函数依赖集或最小覆盖。
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（1）F中的任一函数依赖的右部仅有一个属性，即无多余的属性。
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（2）F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-｛X→A｝等价，即无多余的函数依赖。
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（3）F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F与F-｛X→A｝∪｛Z→A｝等价，即去掉各函数依赖左边的多余属性。
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