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扩展的关系运算
知识路径： > 数据库技术 > 关系数据库 > 关系运算 > 关系代数运算及关系代数表达式 >
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被考频率：
高频率
总体答错率：
48%
知识难度系数：
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相关知识点：7个
扩展的关系运算可以从基本的关系运算中导出，主要包括：交、连接、除、广义投影、外连接、聚集函数。
交（Intersection）
关系
R
与
S
具有相同的关系模式，关系
R
与
S
的交是由属于
R
同时又属于
S
的元组构成的集合，关系
R
与
S
的交可记为
R
∩
S
，其形式定义如下：
R
∩
S
=｛
t
｜
t
∈
R
∧
t
∈
S
｝
显然，
R
∩
S
=
R
-（
R
-
S
），或者
R
∩
S
=
S
-（
S
-
R
）。
运算结果
连接（Join）
连接分为
θ
连接、等值连接及自然连接三种。连接运算是从两个关系
R
和
S
的笛卡儿积中选取满足条件的元组。因此，可以认为笛卡儿积是无条件连接，其他的连接操作是有条件连接。
θ
连接
θ
连接是从
R
与
S
的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。其形式定义如下：
其中：'
XθY
'为连接的条件，
θ
是比较运算符，
X
和
Y
分别为
R
和
S
上度数相等，且可比的属性组。
t
n
［
X
］表示
R
中
t
n
元组的相应于属性
X
的一个分量。
t
m
［
Y
］表示
S
中
t
m
元组的相应于属性
Y
的一个分量。需要说明的是：
.
θ
连接也可以表示为：
其中：
i
=1，2，3，…，
n
，
j
=1，2，3，…，
m
，'
iθj
'的含义为从两个关系
R
和
S
中选取
R
的第
i
列和
S
的第
j
列之间满足
θ
运算的元组进行连接。
.
θ
连接可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取运算导出。因此
θ
连接可表示为：
等值连接（equijoin）
当
θ
为“=”时，称之为等值连接，记为
。其形式定义如下：
自然连接（Natural join）
自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果集中将重复属性列去掉。
若
t
n
表示
R
关系的元组变量，
t
m
表示
S
关系的元组变量；
R
和
S
具有相同的属性组
B
，且B=（
B
1
，
B
2
，…，
B
K
）；并假定
R
关系的属性为
A
1
，
A
2
，…，
A
n
-
k
，
B
1
，
B
2
，…，
B
k
，S关系的属性为
B
1
，
B
2
，…，
B
K
，
B
K
+1
，
B
K
+2
，…，
B
m
；为
S
的元组变量
t
m
去掉重复属性
B
所组成的新的元组变量为
。自然连接可以记为
，其形式定义如下：
自然连接可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取运算导出，因此自然连接可表示为：
特别需要说明的是：
一般连接是从关系的水平方向运算，而自然连接不仅要从关系的水平方向，而且要从关系的垂直方向运算。因为自然连接要去掉重复属性，如果没有重复属性，那么自然连接就转化为笛卡儿积。
除（Division）
除运算是同时从关系的水平方向和垂直方向进行运算。给定关系
R
（
X
，
Y
）和
S
（
Y
，
Z
），
X
、
Y
、
Z
为属性组。
R
÷
S
应当满足元组在
X
上的分量值
x
的象集
Y
x
包含关系
S
在属性组
Y
上投影的集合。其形式定义如下：
其中：
Y
x
为
x
在
R
中的象集，
x
=
t
n
［
X
］。且
R
÷
S
的结果集的属性组为
X
。
广义投影（generalized projection）
广义投影运算允许在投影列表中使用算术运算，实现了对投影运算的扩充。
若有关系
R
，条件
F
1
，
F
2
，…，
F
n
中的每一个都是涉及
R
中常量和属性的算术表达式，那么广义投影运算的形式定义为：
。
外连接（outer jion）
S
、
C
、
SC
关系
外连接运算是连接运算的扩展，可以处理缺失的信息。对于上图的
S
和
SC
关系，当进行
的自然连接时，其结果如下图所示。
从上图可以看出
S
与
SC
的自然连接
的结果丢失了黎明、刘明远、赵国庆的信息。可是，使用外连接就可以避免这样的信息丢失。外连接运算有三种：左外连接、右外连接和全外连接。
左外连接（left outer jion）
S
、
C
、
SC
关系
左外连接：取出左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值null填充所有来自右侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。对于上图的
S
和
SC
关系，当我们对其进行左外连接
时，其结果如下图所示。
右外连接（right outer jion）
S
、
C
、
SC
关系
右外连接：取出右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值null填充所有来自左侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。对于上图的
SC
和
C
关系，当我们对其进行右外连接
时，其结果如下图所示。
全外连接（full outer jion）
全外联接：完成左外连接和右外连接的操作。既填充左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，又填充右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，将产生的新元组加入自然连接的结果中。
聚集函数
聚集运算是关系代数运算中的一个非常重要的扩展。聚集函数输入一个值的集合，返回单一值作为结果。例如，集合｛2，4，6，8，10，15｝。将聚集函数sum用于该集合时返回和45；将聚集函数avg用于该集合时返回平均值7.5；将聚集函数count用于该集合时返回集合中元数的个数6；将聚集函数min用于该集合时返回最小值2；将聚集函数max用于该集合时返回最大值15。
需要说明的是，使用聚集函数的集合中，一个值可以出现多次，值出现的顺序是无关紧要的，这样的集合称之为多重集。集合是多重集的一个特例，其中每个值都只出现一次。
但是，有时在计算聚集函数前必须去掉重复值，此时可以将“distinct”用连接符附加在函数名后，如count-distinct。
本知识点历年真题：
隶属试卷
题号/题型
题干
难度系数/错误率
2016年上半年
数据库系统工程..
上午试卷
综合知识
第35题
选择题
给定关系R（A,B,C,D）和关系S（C,D,E），对其进行自然连接运算R⋈S后的属性为（35）个：σ
R.B>S.E
（R⋈S）等价的关系代数表达式为（36）。
45%
2015年上半年
数据库系统工程..
上午试卷
综合知识
第38题
选择题
关系R、S如下表所示，
52%
相关知识点：
选择（Selection）
并（Union）
五种基本的关系代数运算
投影（Projection）
差（Difference）
广义笛卡儿积（Extended Cartesi..
关系代数运算
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